Funzione lineare

La nozione di funzione ha diversi usi. In questa occasione, ci concentreremo sulla funzione matematica: la relazione che si stabilisce tra due insiemi, per cui ad ogni elemento del primo insieme è assegnato solo un elemento del secondo insieme, o nessuno.

Con questo in mente, possiamo passare all'idea di una funzione lineare. È il nome dato alla funzione matematica composta da variabili di primo grado. Va notato che una variabile è una quantità che, all'interno di un certo insieme, può assumere uno qualsiasi dei valori possibili.

Una funzione lineare è composta da variabili di primo grado.

Caratteristiche della funzione lineare

Le funzioni lineari sono rappresentate da una linea retta nel piano cartesiano. È importante tenere a mente che ciò che le funzioni fanno in definitiva è esprimere una relazione tra le variabili. Dei modelli matematici possono essere sviluppati per rappresentare questo legame.

L'insieme iniziale o di origine è chiamato dominio, mentre l'insieme finale o di destinazione è chiamato codominio. Le variabili indipendenti fanno parte del dominio; le variabili dipendenti fanno parte del codominio. Quando cambiamenti uguali in una variabile indipendente corrispondono a cambiamenti uguali nella variabile dipendente, si parla di una funzione lineare.

Un esempio

Y = X + 2 è un esempio di una funzione lineare. Supponiamo che nel dominio abbiamo i valori 2, 5 e 7. Se la funzione indica che Y è uguale a X + 2, nel codominio troveremo i valori 4, 7 e 9:

X + 2 = Y
2 + 2 = 4
5 + 2 = 7
7 + 2 = 9

Quando portiamo questa funzione lineare ad un grafico in coordinate cartesiane, troveremo una linea retta crescente: al crescere dei valori di X, i valori di Y crescono proporzionalmente.

Funzioni lineari, equazioni e altri concetti causano spesso difficoltà nelle lezioni di matematica.

La funzione lineare in geometria e algebra

Il concetto di funzione lineare si trova nei campi della geometria analitica e dell'algebra elementare. La prima è un ramo della matematica che si concentra sullo studio delle figure e delle loro varie proprietà, come le loro aree, angoli di inclinazione, distanze, intersezioni, volumi e punti di divisione, tra molte altre caratteristiche. In breve, possiamo dire che è una visione molto profonda delle figure geometriche per conoscere tutti i loro dati nel dettaglio.

D'altra parte abbiamo l'algebra elementare, dove troviamo quei concetti fondamentali dell'algebra, il ramo della matematica che si concentra sulle strutture astratte e la combinazione dei suoi elementi secondo certe regole. Per l'aritmetica hanno luogo solo le operazioni elementari tra numeri, come l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione; l'algebra aggiunge i simboli che denotano i numeri, le cosiddette variabili, e apre così la porta a infinite possibilità.

La funzione lineare è essa stessa una funzione polinomiale, una relazione che assegna un valore unico a ogni istanza della variabile ed è composta da un polinomio, una somma o sottrazione di un numero finito di termini. Un esempio di funzione polinomiale è f(x) = ax + b, dove ax e b sono i termini del polinomio.

Come detto in un paragrafo precedente, la funzione lineare produce sempre linee rette sugli assi cartesiani; più precisamente, le linee sono oblique, e questa è la caratteristica delle funzioni polinomiali di primo grado. Abbiamo altri tre gradi: 0, dove si trova la funzione costante, che produce sempre linee rette parallele o orizzontali all'asse x; 2, con la funzione quadratica, che quando viene graficata genera parabole; 3, a cui appartiene la funzione cubica, che viene graficata in forma di curve cubiche.

Ritornando all'equazione della funzione lineare f(x) = ax + b, possiamo dire che a e b sono costanti reali e x una variabile reale. La costante "a" serve a determinare l'inclinazione che la linea avrà quando viene tracciata (la sua pendenza), mentre "b" indica il punto in cui la linea e l'asse y si intersecano.