Algebra lineare

L'algebra è il ramo della matematica che si occupa della generalizzazione delle operazioni aritmetiche per mezzo di segni, lettere e numeri. In algebra, lettere e segni rappresentano un'altra entità attraverso il simbolismo.

Lineare, invece, è un aggettivo che si riferisce a ciò che è legato a una linea (una linea o una sequenza). In matematica, l'idea di lineare si riferisce a ciò che ha conseguenze che sono proporzionali a una causa.

L'algebra lineare è la specializzazione dell'algebra che lavora con matrici, vettori, spazi vettoriali ed equazioni lineari. È un'area di conoscenza che si è sviluppata soprattutto negli anni 1840 con i contributi del tedesco Hermann Grassmann (1809-1877) e dell'irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865), tra gli altri matematici.

Gli spazi vettoriali sono strutture che sorgono quando si registra un insieme non vuoto, un'operazione esterna e un'operazione interna. I vettori sono gli elementi che fanno parte dello spazio vettoriale. Per quanto riguarda le matrici, sono un insieme bidimensionale di numeri che permettono la rappresentazione dei coefficienti che hanno i sistemi di equazioni lineari.

William Rowan Hamilton è uno dei nomi più importanti nel campo della matematica, poiché è stato lui a coniare il termine "vettore", oltre ad aver creato i quaternioni. Questo concetto si estende dai numeri reali, così come i numeri complessi, e sono gruppi di quattro numeri che sono molto utili quando si studiano quantità in tre dimensioni che si prevede abbiano una grandezza e una direzione.

I numeri che compongono il quaternione devono soddisfare certe regole di addizione, moltiplicazione e uguaglianza. Questa scoperta fu di notevole importanza per la matematica. Rispetto all'insieme dei numeri reali, si definisce come quello in cui si trovano i razionali (zero, positivi e negativi) e gli irrazionali (quelli che non possono essere espressi).

Continuando con la definizione degli elementi di cui si occupa l'algebra lineare, è importante sapere che un sistema di equazioni lineari è composto, come indica il suo nome, da equazioni lineari (un insieme di equazioni che sono di primo grado), definite su un anello commutativo o un corpo. Gli scalari sono elementi di corpi matematici che servono per effettuare la descrizione di un fenomeno con grandezza, anche se senza direzione; può essere un numero reale, complesso o costante.

Nelle trasformazioni lineari, i vettori non sono sempre successioni di scalari; è anche possibile che siano elementi di qualsiasi insieme. Tanto che uno spazio vettoriale può nascere da qualsiasi insieme su un campo fisso.

Un altro punto di interesse nell'algebra lineare è il gruppo di proprietà che appaiono quando si impone una struttura addizionale sopra gli spazi vettoriali; un esempio molto frequente di questo avviene quando si introduce un prodotto interno, una sorta di prodotto tra una coppia di vettori, che porta all'introduzione di concetti come l'angolo formato da due vettori o la lunghezza dei vettori.

È corretto dire che l'algebra lineare è un'area attiva che si connette con molte altre, alcune delle quali non appartengono alla matematica, come le equazioni differenziali, l'analisi funzionale, l'ingegneria, la ricerca operativa e la computer grafica. Inoltre, aree della matematica come la teoria dei moduli o l'algebra multilineare sono state sviluppate dall'algebra lineare.