Proprietà associativa

La proprietà associativa appare nel contesto dell'algebra e si applica a due tipi di operazioni: addizione e moltiplicazione. Questa proprietà indica che, quando ci sono tre o più numeri in queste operazioni, il risultato non dipende da come sono raggruppati i termini.

Questo significa che, indipendentemente da come sono messi insieme i diversi numeri nell'operazione, l'addizione o la moltiplicazione daranno lo stesso risultato. Il raggruppamento, quindi, non ha nulla a che fare con il risultato ottenuto.

La proprietà associativa si applica alla moltiplicazione e all'addizione.

La proprietà associativa nell'addizione

Nel caso dell'addizione, la proprietà associativa indica che il modo in cui gli addendi sono messi insieme non influenza il risultato dell'operazione. Vediamo come funziona questa proprietà attraverso un'espressione algebrica e un esempio:

(A + B) + C = A + (B + C)

Sostituendo le lettere con valori numerici, possiamo dimostrare l'uguaglianza indicata dalla proprietà associativa. Se A = 8, B = 5 e C = 4:

(8 + 5) + 4 = 8 + (5 + 4)
13 + 4 = 8 + 9
17 = 17

Il caso delle moltiplicazioni

Lo stesso vale per le moltiplicazioni poiché, in questo caso, il risultato non dipende dal raggruppamento dei fattori. Se continuiamo a lavorare con i valori dell'esempio precedente:

(A x B) x C = A x (B x C)
(8 x 5) x 4 = 8 x (5 x 4)
40 x 4 = 8 x 20
160 = 160

Siccome l'applicazione della proprietà associativa in addizioni e moltiplicazioni non ha alcun effetto apparente, possono sorgere dubbi sulla sua utilità. Ebbene, conoscere questi principi è utile per padroneggiare queste operazioni, soprattutto quando sono combinate con altre, come la sottrazione e la divisione; inoltre, in queste ultime due, l'associatività non è soddisfatta, ed è attraverso il contrasto che possiamo raggiungere un uso corretto della matematica.

Divisione e sottrazione non ci permettono di applicare la proprietà associativa.

Sottrazione, divisione e proprietà associativa

Prendiamo il caso della sottrazione, per capire i limiti della proprietà associativa. Se guardiamo, per esempio, l'equazione 4 - 2 - 6 = x e la risolviamo intuitivamente, eseguendo le operazioni da sinistra a destra, il risultato che otterremo è -4, poiché 4 meno 2 è 2, e 2 meno 6 è, effettivamente, -4. Ma cosa accadrebbe se provassimo ad applicare la proprietà associativa come abbiamo fatto nei casi di addizione e moltiplicazione? Come vedremo più avanti, la realtà è molto diversa con la sottrazione.

Se, invece di sottrarre direttamente ciascuno dei valori, decidiamo di raggrupparli in modo da dover sottrarre a 4 il risultato di 2 meno 6, cioè 4 - (2 - 6) = x, l'equazione darebbe come risultato 8. Come è possibile che mettere solo due parentesi cambi così drasticamente il risultato? Vediamo passo per passo come funzionano i calcoli: sottraiamo (2 - 6) e otteniamo -4, quindi l'equazione diventa 4 - (-4); prima di procedere, è importante ricordare che togliendo la parentesi dobbiamo alterare il segno meno e sostituirlo con un più, quindi l'equazione finale è 4 + 4, il cui risultato è, in effetti, 8.

Similmente, se prendiamo l'equazione 24 / 3 / 2 = x, il risultato che otteniamo se non alteriamo la sua forma è 4, poiché 24 diviso per 3 è 8, che diviso per 2 ci dà 4. Se, invece, decidiamo di testare l'affinità della divisione con la proprietà associativa, ci accorgeremo rapidamente che è nulla. Il risultato di 24 / (3 / 2) = x è 16, poiché 3 diviso 2 dà 1,5, e 24 diviso 1,5 è 16.