Proprietà commutativa

In matematica, le operazioni hanno diverse proprietà. La proprietà distributiva, per esempio, si applica nella moltiplicazione e indica che il numero moltiplicato per la somma di due addendi è uguale alla somma dei prodotti di ciascuno di questi addendi per il numero in questione. Cioè: A x (B + C) = A x B + A x C.

La proprietà associativa, applicabile nella moltiplicazione e nell'addizione, indica che il risultato delle operazioni non è legato al modo in cui i numeri sono raggruppati. Metti un'espressione algebrica: (A + B) + C = A + (B + C)

Ora è il momento di analizzare un'altra di queste proprietà: la proprietà commutativa, che indica che l'ordine dei numeri usati nell'operazione non altera il risultato dell'operazione. La proprietà commutativa appare nell'addizione e nella moltiplicazione e definisce la possibilità di aggiungere o moltiplicare numeri in qualsiasi ordine, ottenendo sempre lo stesso risultato:

A + B = B + A o A x B = B x A

Prima vediamo come funziona la proprietà nell'addizione. Se abbiamo i valori A = 5 e B = 7, otterremo la seguente equivalenza dalla proprietà commutativa:

5 + 7 = 7 + 5
12 = 12

Nel caso della moltiplicazione, il ragionamento è lo stesso. Lavorando con gli stessi valori dell'esempio precedente, otterremo quindi questa equivalenza:

5 x 7 = 7 x 5
35 = 35

Conoscere la proprietà commutativa quando si eseguono addizioni e moltiplicazioni è molto utile, soprattutto quando si risolvono equazioni con incognite, perché ci toglie il peso di mantenere un ordine particolare per ciascuno dei loro addendi e fattori. Non dimentichiamo che gli esempi dati sopra riflettono le possibilità più semplici, dato che la seguente equazione potrebbe anche essere data per dimostrare l'efficacia della proprietà commutativa in entrambe le operazioni:

(A x C + Z / A) x B + D + E x Z = D + B x (Z / A + C x A) + Z x E

Nota che in questo caso la proprietà commutativa può essere applicata in modo da ottenere diverse equivalenze, poiché includendo aggiunta e moltiplicazione, il numero possibile di combinazioni aumenta. Un'equazione molto più complessa potrebbe avere operazioni come la radicazione e il potenziamento, così come costanti (valori fissi, al contrario delle variabili) e divisioni che coprono tutto o parte di un termine.

Quando si cerca di chiarire un'incognita, è essenziale conoscere tutte le proprietà delle operazioni coinvolte nell'equazione per evitare di fare errori. Non dimentichiamo che la matematica è una scienza esatta e che, in generale, il suo uso ci porta a ottenere un unico valore possibile; in altre parole, basta un piccolo errore per invalidare il resto del lavoro.

D'altra parte, è anche molto importante sapere che la proprietà commutativa non vale nella sottrazione, divisione, potenziamento e radicazione. Basta invertire l'ordine di qualsiasi equazione semplice che include una di queste operazioni per apprezzare questa incompatibilità. I seguenti esempi mostrano quanto possa essere pericoloso cercare di applicare i principi della proprietà commutativa al di fuori dell'addizione e della moltiplicazione: 12 - 8 = 4, mentre 8 - 12 = -4; 4 / 2 = 2 mentre 2 / 4 = 0,5; 3 elevato all'ottava potenza è uguale a 6561, ed è lontano da 8 al cubo, che dà 512.