Poligono stellato

Un poligono è una figura composta da un certo numero di lati, che sono segmenti dritti non allineati. A seconda delle loro caratteristiche, ci sono molteplici classificazioni di poligoni.

I poligoni concavi sono quelli che hanno almeno un angolo interno che misura più di 180° o pi radianti. All'interno di questo gruppo ci sono i poligoni stellati, caratterizzati dalla loro forma a stella.

Un poligono stellato è quindi concavo in quanto ha uno o più angoli interni superiori a 180° o pi radianti. Altre caratteristiche dei poligoni concavi e dei poligoni stellati sono che hanno anche una o più diagonali esterne e hanno due o più vertici che, quando sono uniti da un segmento, tagliano almeno un lato della figura.

Un poligono stellato non è solo concavo, ma può anche far parte di poligoni regolari quando i suoi angoli interni e lati sono uguali. Attraverso alcune "giunzioni" fatte da nuovi segmenti che collegano i vertici, un poligono stellato può essere creato da un poligono regolare (come un pentagono, per esempio).

I poligoni stellati regolari, inoltre, possono essere semplici. Questo accade quando i loro vertici giacciono alternativamente su una coppia di cerchi concentrici con angoli centrali che sono uguali.

Un modo per costruire poligoni stellati è sovrapporre e ruotare altri poligoni. Così è possibile sviluppare numerosi poligoni a forma di stella, come la famosa Stella di David, che è un simbolo della religione ebraica.

Dividendo una circonferenza in n parti e unendole successivamente, è possibile ottenere un poligono convesso regolare; se le giunzioni tra i vertici sono fatte a coppie, a tre e così via, si ottiene un poligono concavo a forma di stella. In altre parole, per costruire un poligono stellato si può partire da un poligono convesso regolare e unire i suoi vertici in sequenza continua mantenendo l'intervallo tra l'uno e l'altro, in modo che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

* il numero di vertici del poligono originale (N) sullo spazio tra l'uno e l'altro (M) deve formare una frazione irriducibile, cioè il suo denominatore e numeratore non devono avere fattori in comune, in modo che la frazione non possa essere semplificata;

* il poligono a stella formato dall'unione dei vertici di un poligono convesso regolare deve essere lo stesso indipendentemente dalla direzione in cui sono disegnati i segmenti. In altre parole, N/M e N/(N-M) devono rappresentare lo stesso poligono.

Alcuni concetti relativi al poligono stellato sono i seguenti: genere, il numero di lati (o corde) che ha, che deve coincidere con il suo numero di vertici, motivo per cui la sua denominazione è la stessa di quella dei poligoni convessi (con un genere 6 si parla di un esagono stellato, per esempio); passo, il numero di parti in cui è divisa la circonferenza, e il valore che comprende i lati del poligono; specie, una proprietà con denominazione ordinale che si riferisce al passo, per cui se i giunti sono due a due si parla di seconda specie, e così via.

Tra i poligoni più noti, si sa che il triangolo e il quadrato non hanno uno stellato; il pentagono, l'ottagono, il decagono e il dodecagono, invece, ne hanno uno ciascuno, rispettivamente di prima, seconda, seconda e quinta o quarta specie; l'ettagono e l'enneagono ne hanno due ciascuno, di prima e seconda specie; l'undici lati, infine, ne ha quattro, che vanno dalla prima alla quarta specie.