Numeri primi

Un numero primo è qualsiasi numero naturale che può essere diviso solo per 1 e per se stesso. Per fare un esempio: 3 è un numero primo, mentre 6 non lo è, poiché 6 / 2 = 3 e 6 / 3 = 2.

Per riferirsi alla qualità di essere primo, si usa il termine primalità. Poiché l'unico numero primo pari è 2, qualsiasi numero primo più grande di questo è spesso citato come un numero primo dispari.

La congettura di Goldbach, proposta dal matematico Christian Goldbach nel 1742, afferma che qualsiasi numero pari maggiore di due può essere espresso come somma di due cifre prime (4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3). Poiché nessun matematico è mai stato in grado di trovare un numero pari maggiore di 2 che non possa essere espresso dalla somma di due numeri primi, la congettura è ritenuta vera, anche se non è mai stata dimostrata.

La priorità è molto importante perché implica che qualsiasi numero può essere fattorizzato come prodotto di numeri primi. Questa fattorizzazione, d'altra parte, sarà sempre unica.

Circa il 300 a.C., il matematico greco Euclide aveva già dimostrato che i numeri primi sono infiniti. Ci sono alcune regole per verificare se un numero è primo: per esempio, qualsiasi numero che finisce in 0, 2, 4, 5, 6 o 8, o le cui cifre si sommano a un numero divisibile per 3, non è primo. I numeri che terminano con 1, 3, 7 o 9, invece, possono essere primi o meno.

I numeri che non sono primi (cioè quelli che hanno divisori naturali oltre a 1 e se stesso) sono conosciuti come numeri composti. Per convenzione, 1 non è definito come un primo, ma non è nemmeno definito come un composto.

Le applicazioni dei numeri primi sono molte e sono spesso associate alle tecniche di crittografia. Per esempio, nel caso del cosiddetto algoritmo RSA, una chiave si ottiene moltiplicando due numeri primi maggiori di 10100; dato che non c'è modo di fattorizzare rapidamente un numero così alto con i computer convenzionali, è molto affidabile.

Sistemi di crittografia

Data la necessità umana di proteggere certe informazioni, sono stati creati sistemi di crittografia che permettono solo a chi conosce le istruzioni specifiche per decodificare un messaggio di accedervi. Queste procedure crittografiche risalgono a civiltà molto antiche, anche se, grazie ai progressi della matematica e all'interesse dei militari per queste tecniche, la loro complessità è cresciuta notevolmente dalle loro prime forme.

Per criptare un messaggio, è necessario utilizzare una chiave per convertirlo in un testo illeggibile. Una volta ricevuta, a seconda della tecnica utilizzata, la decrittazione richiede l'uso di un'altra chiave, che può essere o meno la stessa della prima. I due sistemi di crittografia conosciuti sono chiamati simmetrici e a chiave segreta.

Il sistema a chiave segreta usa due chiavi uguali o diverse, mentre la chiave di decrittazione può essere dedotta dalla chiave di crittografia. Il sistema simmetrico, noto anche come sistema a chiave pubblica, utilizza due chiavi diverse; è assolutamente necessario conoscerle entrambe, poiché non vi è alcuna indicazione che una possa essere logicamente dedotta dall'altra.

Il segreto di quest'ultimo sistema è che si basa sulle note funzioni trappola; queste sono formule matematiche il cui calcolo diretto è facile, ma che richiedono un gran numero di operazioni per eseguire l'inverso. Proprio nel caso della crittografia asimmetrica, queste funzioni si basano sulla moltiplicazione dei numeri primi.