Covarianza

Il termine covarianza non fa parte del dizionario della Reale Accademia Spagnola (RAE). Il concetto, tuttavia, è usato nel campo della statistica e della probabilità per nominare il valore che riflette il grado di variazione congiunta che si registra in due variabili casuali misurando le loro medie.

La covarianza, quindi, ci permette di scoprire se le variabili mantengono un legame di dipendenza. I dati contribuiscono anche a scoprire altri parametri.

Una funzione che assegna un valore, solitamente numerico, al risultato di un esperimento casuale è nota come variabile casuale. Un esperimento casuale, invece, è un esperimento che può dare risultati diversi anche se eseguito più volte nelle stesse condizioni, in modo che ogni esperienza diventa impossibile da prevedere e quindi impossibile da riprodurre.

Un esempio molto comune di esperimento casuale, che possiamo provare nella nostra vita quotidiana, è il lancio di un dado: anche se viene lanciato sulla stessa superficie, con la stessa mano o tazza, e applicando più o meno la stessa forza e direzione, non è possibile prevedere quale delle sue facce punterà verso l'alto.

Se i valori bassi di una variabile corrispondono ai valori bassi di un'altra variabile, o se lo stesso vale per i valori alti di entrambe, la covarianza ha un valore positivo ed è qualificata come diretta. D'altra parte, se a valori bassi di una variabile corrispondono valori più alti di un'altra variabile e viceversa, la covarianza è negativa ed è definita come inversa. La tendenza nella relazione lineare tra le variabili è quindi espressa dal segno della covarianza.

Ci sono diverse formule per calcolare la covarianza. Si può dire che la covarianza è la media aritmetica che risulta dal prodotto delle deviazioni delle variabili dalle loro proprie medie.

Supponiamo che le variabili siano i punteggi di valutazione di Storia e Geografia di cinque studenti:

Gradi di Storia (P) dei cinque studenti: 6, 5, 7, 7, 7, 4 (totale = 29)
Geografia (S) dei cinque studenti: 7, 3, 4, 3, 3, 5 (totale = 22)

Poi tabulate, moltiplicando i risultati di valutazione di ogni alunno:

P x S: 42 (come 6 x 7 = 42), 15 (5 x 3), 28 (7 x 4), 21 (7 x 3), 20 (4 x 5). Somma totale dei risultati = 126)

La media di P: 29 / 5 = 5.8
La media di S: 22 / 5 = 4.4

Finalmente:

Covarianza PS: (126 / 5) - 5.8 x 4.4
Covarianza PS: 25.2 - 5.8 x 4.4
Covarianza PS: 25.2 - 25.52
Covarianza PS: -0.32

Oltre a sapere se due date variabili casuali hanno un legame di dipendenza reciproca, la covarianza serve per la stima di parametri come la linea di regressione e il coefficiente di correlazione lineare.

La linea di regressione è anche conosciuta come adattamento lineare o regressione lineare, ed è un concetto statistico che comprende un modello matematico utilizzato per approssimare la dipendenza tra un insieme di variabili e un termine casuale.

Il coefficiente di correlazione lineare, invece, è un indicatore della direzione e della forza di una relazione lineare (in matematica, ciò che si verifica se il valore di una quantità dipende dal valore di un'altra) e di una proporzionalità (un rapporto o una relazione costante che si verifica tra quantità misurabili) tra due variabili statistiche (sono caratteristiche che possono fluttuare, con valori che possono essere osservati e misurati).

È importante differenziare i seguenti due tipi di covarianza: quella tra due variabili casuali, che è considerata una proprietà della distribuzione congiunta, cioè degli eventi di entrambe che si verificano simultaneamente; la covarianza di campionamento, che è usata come stima statistica del parametro.