Permutazione

Permutazione è una nozione che deriva dal latino permutatio. Il termine si riferisce alla procedura e al risultato della permutazione. Questo verbo, a sua volta, si riferisce allo scambio di una cosa per un'altra, senza l'intermediazione del denaro, a meno che non si cerchi di eguagliare il valore degli oggetti scambiati.

Per esempio: "Penso di aver guadagnato scambiando la casa", "Il direttore ci ha chiesto di esaminare lo scambio del vecchio macchinario", "La proposta di scambio non è stata accettata dalla controparte".

La nozione di permutazione è comune nel campo della matematica. In questo caso, l'idea si riferisce alle possibili disposizioni degli elementi che fanno parte di un insieme non-infinito.

Questo significa che una permutazione è un cambiamento nel modo in cui gli elementi sono disposti. Può essere pensata come una funzione di tipo bijettivo all'interno dell'insieme, poiché punta a diverse corrispondenze tra gli elementi.

Guardiamo un esempio. L'insieme {5,6,7} può essere disposto in modi diversi, dando luogo a varie permutazioni. In particolare, questo insieme permette sei permutazioni: {5,6,7}, {5,7,6}, {7,5,6}, {7,6,5}, {6,5,7}, {6,7,5} e {5,6,7}. In questo caso, un certo numero di elementi rimane fisso, mentre il resto viene mobilitato in modo ciclico. Quando nessun elemento rimane fisso, si chiama permutazione ciclica.

Quando un ciclo viene applicato a un elemento Y di un insieme, ci si aspetta che tutti gli altri elementi passino, prima o poi, attraverso la posizione che Y occupava originariamente. La contropartita di questa situazione è che Y occuperà anche tutte le altre posizioni degli elementi che sono soggetti alla permutazione.

Lo studio della numerazione, dell'esistenza e della costruzione di proprietà di configurazioni che soddisfano certe condizioni è noto come combinatoria. Appartiene alla matematica discreta, e anche la permutazione è legata a questo ramo, come discusso di seguito.

La combinatoria studia il numero di modi diversi in cui possono essere considerati gli insiemi formati da elementi di un insieme iniziale, seguendo certe regole (come ordine, partizione, ripetizione e dimensione). Così, un problema combinatorio di solito consiste nello stabilire una regola sulla forma in cui i cosiddetti raggruppamenti dovrebbero verificarsi e determinare quanti di loro soddisfano tale regola. Si devono prendere in considerazione combinazioni, variazioni e permutazioni (queste ultime possono essere considerate una classe speciale di variazioni), con o senza ripetizione.

C'è un tipo di permutazione chiamata trasposizione, che consiste nel raggruppare elementi in cicli di lunghezza 2. È possibile scrivere qualsiasi permutazione come prodotto di trasposizioni e, quindi, di cicli. Se prendiamo la permutazione P = (s1,s2)(s1,s3)...(s1,st), con gli elementi (1,3,8)(2,4,5,9)(6,7), possiamo decomporla come segue: (1,3)(1,8)(2,4)(2,5)(2,9)(6,7).

E' da notare che lo studio della permutazione delle radici delle equazioni algebriche aprì la porta a Évariste Galois, matematico francese del XIX secolo, per muovere i primi passi nello sviluppo della teoria dei gruppi, che appartiene al ramo della matematica noto come algebra astratta e studia sia le proprietà che le applicazioni dei gruppi dentro e fuori il campo matematico.

Galois fu il primo a usare il termine permutazioni nel contesto della matematica, e i gruppi su cui cominciò a lavorare furono i gruppi non abeliani, cioè quelli che non sono commutativi (i gruppi abeliani, dal nome del matematico norvegese Niels Henrik Abel, hanno la proprietà commutativa).