Modello matematico

Un modello matematico descrive teoricamente un oggetto che esiste al di fuori del campo della matematica. Le previsioni meteorologiche e le previsioni economiche, per esempio, si basano su modelli matematici. Il loro successo o fallimento dipende dalla precisione con cui si costruisce questa rappresentazione numerica, la fedeltà con cui si concretizzano fatti e situazioni naturali sotto forma di variabili interrelate.

Fondamentalmente, in un modello matematico ci sono tre fasi:

* la costruzione, un processo in cui l'oggetto viene convertito in linguaggio matematico;
* l'analisi o lo studio del modello fatto;
* l'interpretazione di questa analisi, dove i risultati dello studio vengono applicati all'oggetto da cui sono stati fatti.

L'utilità di questi modelli sta nel fatto che aiutano a studiare come si comportano strutture complesse in situazioni che non si vedono facilmente nel mondo reale. Ci sono modelli che funzionano in alcuni casi e sono imprecisi in altri, come nel caso della meccanica newtoniana, la cui affidabilità fu messa in dubbio dallo stesso Albert Einstein.

Si può dire che i modelli matematici sono insiemi con certe relazioni predefinite, che permettono di soddisfare proposizioni derivate da assiomi teorici. A tal fine, fanno uso di vari strumenti, come l'algebra lineare, che, per esempio, facilita la fase di analisi, grazie alla rappresentazione grafica delle varie funzioni.

Classificazioni secondo vari criteri

Secondo l'origine delle informazioni su cui si basa il modello, possiamo distinguere tra modelli euristici, che si basano su definizioni delle cause naturali o meccanismi che originano il fenomeno in questione, e modelli empirici, che si concentrano sullo studio dei risultati della sperimentazione.

Inoltre, per quanto riguarda il tipo di risultato ricercato, ci sono due classificazioni di base:

* modelli qualitativi, che possono usare grafici e non cercano un risultato esatto, ma cercano di rilevare, per esempio, la tendenza di un sistema ad aumentare o diminuire un certo valore;

* modelli quantitativi, che, invece, hanno bisogno di trovare un numero preciso, per cui si basano su formule matematiche di varia complessità.

Un altro fattore che divide i tipi di modelli matematici è la casualità della situazione iniziale; così si distingue tra modelli stocastici, che restituiscono la probabilità che si ottenga un certo risultato e non il valore stesso, e modelli deterministici, quando i dati e i risultati sono noti, quindi non c'è incertezza.

Secondo l'obiettivo del modello, possiamo descrivere i seguenti tipi:

* modello di simulazione, che tenta di anticipare un risultato in una data situazione, se questo risultato può essere misurato con precisione o casualmente;

* modello di ottimizzazione, che considera diversi casi e condizioni, alternando i valori, per trovare la configurazione più soddisfacente;

* modello di controllo, attraverso il quale si possono determinare le regolazioni necessarie per ottenere un particolare risultato.

Modelli matematici come puntello del consumismo

Dati vari fattori culturali ed educativi, la matematica è la scienza meno attraente per una grande percentuale di persone, che la associano a ricordi infelici dei loro giorni da studenti. Molti di loro dedicano la loro vita a scopi umanistici o artistici, e credono di vivere al di fuori dei numeri e delle complesse funzioni che un giorno minacciarono l'insuccesso scolastico; ma queste formule sono i pilastri del sistema e, se fossero presentate in modo amichevole e accessibile, non genererebbero quel tipico rifiuto, spesso giustificato da una mancanza di capacità.

I telefoni cellulari con schermi tattili, la televisione a pagamento con centinaia di canali e servizi di noleggio di film virtuali, o lo stesso Internet, con la sua miriade di possibilità, sono oggi le forme di intrattenimento preferite a livello globale. Ora, se visitassimo le aziende che producono i dispositivi, o progettano e sviluppano i suddetti servizi, troveremmo grandi dipartimenti di controllo della qualità, che non fanno altro che analizzare, attraverso modelli matematici, le possibili interazioni tra utenti e sistemi, i potenziali guasti, e cercare di migliorare il prodotto finale, solo sulla base dei test e dei loro numeri risultanti.

Supponiamo di avere un servizio di video on demand, e al momento di pagare un certo film, ci viene chiesto se abbiamo un buono sconto. In quel momento, siamo anche informati che, dato che siamo in una settimana promozionale, sarà applicato un bonus di un certo importo. Tutto questo, se dovessimo farlo a mano, per un cliente particolare, non sarebbe molto complicato; con carta, matita e una calcolatrice, calcoleremmo il prezzo finale. Ma nel caso di una piattaforma con cui milioni di persone interagiscono ogni giorno, è necessario fare e testare rigorosamente tutte le combinazioni possibili per evitare, ad esempio, che un coupon venga utilizzato più di una volta, o dopo la sua data di scadenza, tra le altre potenziali violazioni del sistema.