Frattale

L'esperto matematico Benoît Mandelbrot è stato responsabile dello sviluppo, nel 1975, del concetto di frattale, che deriva dalla parola latina fractus (che può essere tradotta come "rotto"). Il termine coniato dal francese fu presto accettato dalla comunità scientifica e fa persino parte del dizionario della Reale Accademia Spagnola (RAE).

Un frattale è una figura, che può essere spaziale o piatta, formata da infinite componenti. La sua caratteristica principale è che il suo aspetto e il modo in cui è distribuito statisticamente non varia anche quando si modifica la scala usata nell'osservazione.

I frattali sono, quindi, elementi qualificati come semi-geometrici (a causa della loro irregolarità non appartengono alla geometria tradizionale) che hanno una struttura essenziale che si ripete a diverse scale.

Il frattale può essere creato dall'uomo, anche con intenti artistici, sebbene esistano anche strutture naturali che sono frattali (come i fiocchi di neve).

Secondo Mandelbrot, i frattali possono avere 3 tipi diversi di autosimilarità, il che significa che le parti hanno la stessa struttura del tutto:

* autosimilarità esatta, il frattale è identico a qualsiasi scala;
* quasi-autosimilarità, con la variazione di scala, le copie del tutto sono molto simili, ma non identiche;
* autosimilarità statistica, il frattale deve avere dimensioni statistiche o numeriche che sono conservate con la variazione di scala.

Le tecniche frattali sono usate, per esempio, per comprimere i dati. Attraverso il teorema del collage, è possibile trovare un IFS (iterated function system), che include le alterazioni che una figura completa subisce in ciascuno dei suoi frammenti autosimili. Poiché l'informazione è codificata nell'IFS, è possibile elaborare l'immagine.

La musica frattale è quando un suono è generato e ripetuto secondo modelli di comportamento spontaneo che si trovano molto spesso in natura. Vale la pena menzionare che ci sono programmi per computer in grado di creare tali composizioni senza l'intervento umano.

L'insieme di Cantor è spesso citato in relazione ai frattali, anche se questo non è corretto. La sua definizione, che spesso porta a questa confusione, è la seguente: prendi un segmento e rompilo in tre, poi elimina quello centrale e ripeti questa azione all'infinito con i segmenti rimanenti.

La dimensione frattale

La geometria classica non è abbastanza ampia per comprendere i concetti necessari per misurare le diverse forme frattali. Se teniamo conto che si tratta di elementi le cui dimensioni cambiano incessantemente, non è facile, per esempio, calcolare la loro lunghezza. La ragione è che se si cerca di misurare una linea frattale usando un'unità tradizionale, ci saranno sempre componenti così piccole e sottili che non possono essere delimitate con precisione.

Nella curva di Koch, tracciata sulla destra, si può vedere che dalla sua nascita cresce ad ogni passo di un terzo in lunghezza; in altre parole, la lunghezza della porzione all'inizio aumenta all'infinito, rendendo ogni curva 4/3 della precedente.

Siccome la lunghezza della linea frattale e quella dello strumento di misura o unità di misura scelto sono direttamente correlate, è assurdo usare una nozione del genere. È per questo che è stato creato il concetto di dimensione frattale, che ci permette, quando si parla di linee frattali, di sapere in che modo o in che misura occupano una porzione di un piano.

Relativamente alla geometria tradizionale, un segmento ha dimensione uno, un cerchio, due, e una sfera, tre. Poiché una linea frattale non si estende su tutta la porzione di piano, dovrebbe avere una dimensione inferiore a due.