Prodotto cartesiano

Prima di entrare pienamente nello stabilire il significato del prodotto cartesiano, è necessario procedere a determinare l'origine etimologica delle due parole che lo formano:
-Prodotto deriva dal latino, da "productus", che equivale a "prodotto" e che è il risultato della somma del prefisso "pro-", sinonimo di "avanti", e dell'aggettivo "ductus", che può essere tradotto come "guidato".
-Cartesiano, invece, da "Cartesius", che era il nome latino del filosofo francese René Descartes, che diede forma al cartesianesimo o dualismo cartesiano. Questa dottrina o ideologia arrivò a stabilire, tra molte altre cose, che l'essere umano era composto da due sostanze: l'esteso e il pensante.

La nozione di prodotto cartesiano è utilizzata nel campo della matematica, più precisamente nel campo dell'algebra. Il prodotto cartesiano rivela una relazione d'ordine tra due insiemi, costituendo un terzo insieme.

Il prodotto cartesiano di un insieme A e un insieme B è l'insieme costituito dalla totalità delle coppie ordinate che hanno un primo componente in A e un secondo componente in B.

Vediamo un esempio. Se l'insieme A è composto dagli elementi 3, 5, 7 e 9, mentre l'insieme B contiene gli elementi m e r, il prodotto cartesiano dei due insiemi è il seguente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

Il prodotto cartesiano consiste quindi in tutte le coppie ordinate che si possono formare da due determinati insiemi. Ogni coppia ordinata è composta da due elementi: il primo elemento appartiene a un insieme e il secondo all'altro. Se continuiamo con il nostro esempio, nella coppia ordinata (3,m), 3 è il primo elemento (corrispondente all'insieme A) e m è il secondo elemento (appartenente all'insieme B).

È importante stabilire, oltre a quanto sopra, che quando parliamo di prodotti cartesiani dobbiamo riferirci a due casi o tipi di generalizzazioni possibili. Così, da un lato, c'è il cosiddetto caso finito, che è quello che parte da un numero finito di insiemi (A1, A2, A3...An). Il suo prodotto cartesiano sarebbe l'insieme delle liste numerate il cui elemento è in A1, il secondo in A2...

Il caso infinito sarebbe quello in cui, partendo da una grande famiglia di insiemi con probabilità infinita e di carattere arbitrario, nel definire il relativo prodotto cartesiano, la definizione delle suddette liste numerate sarebbe sostituita da un'altra.

Supponiamo che in una casa ci siano tre persone (Carlos, Juan e Antonia) e due libri (Rayuela e Cent'anni di solitudine). Il prodotto cartesiano di entrambi gli insiemi (persone e libri) sarà formato da tutte le possibili distribuzioni delle opere letterarie tra gli individui.

P x L = {(Carlos, Hopscotch), (Carlos, One Hundred Years of Solitude), (Juan, Hopscotch), (Juan, One Hundred Years of Solitude), (Antonia, Hopscotch), (Antonia, One Hundred Years of Solitude)}

Tali informazioni possono essere utili per creare un diagramma di flusso che specifichi come i due libri saranno distribuiti in modo che tutti abbiano la possibilità di leggerli ad un certo punto.